Về mặt toán học, QED là một lý thuyết chuẩn Abel (abelian gauge theory) với nhóm đối xứng U(1). Trường chuẩn (gauge field), làm trung gian tương tác giữa các trường spin-1/2, là trường điện từ. Lagrangian của QED cho trường spin-1/2 tương tác với trường điện từ được viết theo các đơn vị tự nhiên trong phần thực của[22]:78

L = ψ ¯ ( i γ μ D μ − m ) ψ − 1 4 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}

với

γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} là các ma trận Dirac; ψ {\displaystyle \psi } là trường bispinor của các hạt spin-1/2 (như trường electron–positron); ψ ¯ ≡ ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} , gọi là "psi-bar", đôi lúc được coi là liên hợp Dirac; D μ ≡ ∂ μ + i e A μ + i e B μ {\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!} là đạo hàm hiệp biến chuẩn (gauge covariant derivative);e là hằng số cặp, bằng với điện tích của trường bispinor;m là khối lượng của electron hoặc positron; A μ {\displaystyle A_{\mu }} là thế-4 hiệp biến của trường điện từ tạo bởi chính electron; B μ {\displaystyle B_{\mu }} là trường ngoài sinh bởi nguồn bên ngoài; F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!} là tensor điện từ.

Phương trình chuyển động

Thay định nghĩa của D vào Lagrangian thu được

L = i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − e ψ ¯ γ μ ( A μ + B μ ) ψ − m ψ ¯ ψ − 1 4 F μ ν F μ ν . {\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\,}

Từ Lagrangian này, có thể tìm ra phương trình chuyển động cho các trường ψ và A.

Sử dụng phương trình Euler–Lagrange trong lý thuyết trường cho ψ,

∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ψ ) ) − ∂ L ∂ ψ = 0 . {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,.}

(2)

và đạo hàm của Lagrangian theo ψ là

∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ψ ) ) = ∂ μ ( i ψ ¯ γ μ ) , {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),\,} ∂ L ∂ ψ = − e ψ ¯ γ μ ( A μ + B μ ) − m ψ ¯ . {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })-m{\bar {\psi }}.\,}

thay kết quả trên vào phương trình (2) có được

i ∂ μ ψ ¯ γ μ + e ψ ¯ γ μ ( A μ + B μ ) + m ψ ¯ = 0 {\displaystyle i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })+m{\bar {\psi }}=0\,}

với liên hợp Hermit

i γ μ ∂ μ ψ − e γ μ ( A μ + B μ ) ψ − m ψ = 0. {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi -m\psi =0.\,}

Chuyển số hạng ở giữa sang vế phải thu được

i γ μ ∂ μ ψ − m ψ = e γ μ ( A μ + B μ ) ψ {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi \,}

Vế trái nhìn giống như phương trình Dirac ban đầu, và vế phải là tương tác với trường điện từ.

Sử dụng phương trình Euler–Lagrange cho trường A,

∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) ) − ∂ L ∂ A μ = 0 . {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\,.}

(3)

đạo hàm lần này là

∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) ) = ∂ ν ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) , {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),\,} ∂ L ∂ A μ = − e ψ ¯ γ μ ψ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}

thay trở lại phương trình (3) đi đến

∂ ν F ν μ = e ψ ¯ γ μ ψ {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}

Bây giờ nếu chúng ta áp dụng điều kiện chuẩn Lorenz (Lorenz gauge condition)

∂ μ A μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}

phương trình thu về

◻ A μ = e ψ ¯ γ μ ψ , {\displaystyle \Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,,}

mà chính là phương trình sóng của thế-4, phiên bản QED của phương trình Maxwell cổ điển trong chuẩn Lorenz. (Ký hiệu ô vuông biểu diễn cho toán tử D'Alembert, ◻ = ∂ α ∂ α {\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }} .)

Bức tranh tương tác

Lý thuyết này có thể lượng tử hóa một cách trực tiếp bằng cách coi các phần bosonic và fermionic độc lập với nhau. Điều này cho phép chúng ta xây dựng một tập hợp các trạng thái tiệm cận mà có thể dùng để tính biên độ xác suất cho các quá trình khác nhau. Để có thể thực hiện như vậy, chúng ta phải tính một toán tử tiến hóa, đối với một trạng thái ban đầu | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } , sẽ cho trạng thái cuối cùng ⟨ f | {\displaystyle \langle f|} theo cách có được[22]:5

M f i = ⟨ f | U | i ⟩ . {\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}

Kỹ thuật này cũng được gọi là ma trận S (S-matrix). Toán tử tiến hóa nhận được từ bức tranh tương tác (interaction picture) mà tiến hóa thời gian được cho bởi tương tác Hamiltonian, đó là tích phân trên không gian của số hạng thứ hai của mật độ Lagrangian cho ở trên:[22]:123

V = e ∫ d 3 x ψ ¯ γ μ ψ A μ {\displaystyle V=e\int d^{3}x{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}

và cũng vậy, ta có[22]:86

U = T exp ⁡ [ − i ℏ ∫ t 0 t d t ′ V ( t ′ ) ] {\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'V(t')\right]}

với T là toán tử thứ tự thời gian (time ordering operator). Toán tử tiến hóa này chỉ có ý nghĩa như là chuỗi, và cái chúng ta nhận được ở đây đó là chuỗi nhiễu loạn với hằng số cấu trúc tế vi như là tham số phát triển. Chuỗi này được gọi là chuỗi Dyson.

Giản đồ Feynman

Mặc dù sự sáng sủa về mặt ý tưởng trong cách tiếp cận Feynman đối với QED, hầu như không một cuốn sách ban đầu nào về điện động lực học lượng tử có nội dung đi theo cách của ông. Khi thực hiện các tính toán nó sẽ dễ dàng hơn khi làm việc với các biến đổi Fourier của các hàm truyền (propagators). Các thí nghiệm của điện động lực học lượng tử thường chủ yếu là các thí nghiệm tán xạ. Trong lý thuyết tán xạ, các nhà vật lý quan tâm tới động lượng của hạt hơn là vị trí của nó, và sẽ thuận tiện khi nghĩ các hạt đang được sinh ra hoặc bị hủy khi chúng tương tác. Giản đồ Feynman cũng có cái nhìn tương tự như thế, nhưng các đường có những cách giải thích khác hẳn. Đường electron biểu diễn cho một electron với năng lượng và động lượng xác định, và cách giải thích tương tự như thế cho đường photon. Một đỉnh trong giản đồ biểu diễn cho sự hủy của một electron và sinh một hạt khác với sự hấp thụ hoặc phát ra một photon, mỗi hạt có một mức năng lượng và động lượng xác định.

Sử dụng định lý Wick đối với các số hạng của chuỗi Dyson, mọi số hạng của ma trận S (S-matrix, scattering matrix) cho QED có thể tính thông qua kỹ thuật của sơ đồ Feynman. Trong trường hợp này các quy tắc cho sơ đồ được liệt kê dưới đây[22]:801–802

Cùng với các quy tắc này chúng ta phải cộng thêm vào một số hạng nữa cho một vòng xấp xỉ kín hàm ý tích phân trên động lượng ∫ d 4 p / ( 2 π ) 4 {\displaystyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}} , vì những hạt nội tại này ("hạt ảo") không bị giới hạn bởi bất kỳ năng lượng–động lượng xác định nào—thậm chí như đòi hỏi ở thuyết tương đối hẹp.

Từ các quy tắc này, chúng ta đi thẳng đến được tính toán biên độ xác suất. Một ví dụ là tán xạ Compton, với một electron và một photon trải qua tán xạ đàn hồi. Giản đồ Feynman được sử dụng trong trường hợp này là[22]:158–159

và do đó chúng ta có thể nhận được biên độ tương ứng ở xấp xỉ bậc nhất của chuỗi nhiễu loạn cho ma trận S:

M f i = ( i e ) 2 u ¯ ( p → ′ , s ′ ) ϵ / ′ ( k → ′ , λ ′ ) ∗ p / + k / + m e ( p + k ) 2 − m e 2 ϵ / ( k → , λ ) u ( p → , s ) + ( i e ) 2 u ¯ ( p → ′ , s ′ ) ϵ / ( k → , λ ) p / − k / ′ + m e ( p − k ′ ) 2 − m e 2 ϵ / ′ ( k → ′ , λ ′ ) ∗ u ( p → , s ) {\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}\,',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}\,',\lambda ')^{*}{p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e} \over (p+k)^{2}-m_{e}^{2}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}\,',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e} \over (p-k')^{2}-m_{e}^{2}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}\,',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s)}

mà từ đây tính ra tiết diện tán xạ cho quá trình này.